ГІБРИДНА МОДЕЛЬ FSIR З ЕМБЕДДИНГОМ ПАРАМЕТРІВ МЕТОДАМИ МАШИННОГО НАВЧАННЯ

Анотація

В роботі запропоновано гібридну модель FSIR (Fractional Susceptible-Infected-Recovered), яка поєднує дробову динаміку з адаптивною параметризацією через нейронні мережі.

Базова динаміка описується дробовою FSIR-системою з похідною Капуто порядку . Часовий інтервал моделювання  розбитий на 500 рівномірновіддалених точок; крок сітки  обчислюється як різниця суміжних точок. Початкові умови: . Чисельне інтегрування дробових похідних виконувалась методом Адамса-Башфорта-Мултона, яка є predictor-corrector методом і реалізована у коді для розв’язання FSIR для різних масивів параметрів  та . В роботі розглянуті два підходи параметризації: MLP для ембеддингу параметрів і PINN-підхід (Physics Informed Neural Network).

Навчання проводилось на повній сітці синтетичних точок (full-batch режим, 500 точок) без розбиття на міні-батчі одночасно з оптимізатором Adam і початковим learning rate 0.01. Для чисельного інтегрування використовувалась спрощена предиктор-коректорна схема: ваги коректора апроксимуються вагами предиктора з додатковим коригуючим доданком, що відповідає першому порядку уточнення. Така схема є менш точною порівняно з повним АБМ, однак достатньою для гладких правих частин на сітці з кроком  при , що підтверджується стабільністю отриманих траєкторій. Експерименти проводились з різною кількістю епох [100, 500, 1000, 2000].

В PINN підході використовувалися підмережі для ,  та  з трьома шарами по 32 нейрони з активацією Tanh. В цьому підході функція втрат об’єднує MSE за даними, які відповідають за стани і параметри та фізичну залишкову компоненту, що враховує дробові залишки через L1-апроксимацію похідної Капуто. В PINN підході також використовувався оптимізатор Adam, learning rate  і для деяких експериментах ми застосовували підвищену вага фізичної компоненти.

Синтетичний сценарій MLP-ембеддингу дав значне зниження помилки відтворення траєкторій часових рядів епідемій за моделлю SIR при збільшенні числа епох. Так середні значення MSE для MLP підходу зменшуються з  при 100 епохах до  для 2000 епох, що відповідає середньоквадратичному відхиленню порядку .

Розглянута конфігурація PINN моделі має вищі значення MSE (), наприклад для 2000 епох . Це може вказувати на потребу в додатковому налаштуванні адаптивного балансу втрат, глибині мережі або використанні комбінованих оптимізаторів для досягнення точності, порівняної з MLP підходом.

Запропонований підхід поєднує інтерпретованість дробової FSIR-моделі з гнучкістю data-driven параметризації. Показано, що на синтетичних тестах MLP-ембеддинг досягає низьких помилок апроксимації параметрів (), в той час як PINN підхід дає кращу фізичну узгодженість за рахунок додаткової оптимізації, але вимагає ретельного налаштування для дробових систем і осцилюючих параметрів розвитку епідеміологічного процесу. Рекомендується застосовувати гібридний підхід: спочатку попереднє навчання MLP моделі на широкому наборі синтетичних даних з різними сценаріями, а потім fine-tuning за допомогою PINN моделі на емпіричних даних з балансом фізичної компоненти функції втрат.