ДРОБОВА SIR-МОДЕЛЬ ХВИЛЬ COVID-19 ЗІ ЗМІННИМИ В ЧАСІ ПАРАМЕТРАМИ ТА ІДЕНТИФІКАЦІЄЮ НА ОСНОВІ НЕЙРОМЕРЕЖЕВИХ МЕТОДІВ

Анотація

У статті розглядається задача опису окремих хвиль епідемії COVID-19 за допомогою моделей типу SIR на основі реальних статистичних даних. Показано, що класична SIR-модель із сталими параметрами передачі β та вилучення γ не здатна адекватно відтворювати форму епідемічної хвилі, оскільки в реальних даних ці параметри істотно змінюються з часом і відображають вплив протиепідемічних заходів, зміну поведінки населення, вакцинацію та інші фактори. Крім того, стандартна SIR-модель є безпам’ятною (марковською), тоді як емпіричні часові ряди захворюваності демонструють ефекти довготривалої пам’яті. Метою роботи є поєднання дробових SIR-моделей із параметрами, що змінюються у часі, та методів ідентифікації на основі нейронних мереж для опису хвиль COVID-19 у трьох європейських країнах (Німеччина, Італія, Україна). Побудовано ієрархію з п’яти моделей із поступовим зростанням гнучкості та збереженням фізичного змісту. Як найпростіший базовий варіант розглядається класична SIR-модель із постійними параметрами. Далі вводиться віконна SIR-модель із кусочно-сталими функціями β(t) та γ(t), які оцінюються градієнтними методами на ковзних часових вікнах. Наступним кроком є віконна дробова модель FSIR, у якій враховується пам’ять системи за допомогою степеневого ядра з дробовим порядком α∈(0,1). Четверта модель — віконна FSIR-PINN, у якій багатошарова нейронна мережа апроксимує приховані траєкторії S(t), I(t), R(t) із урахуванням дискретних рівнянь FSIR у функціоналі похибки. Нарешті, п’ята модель — глобальна безвіконна FSIR-PINN, що навчається одразу на всій хвилі.

Чисельні експерименти показують, що для всіх трьох країн віконна дробова модель FSIR з α<1 забезпечує кращий баланс між похибкою на навчальній та тестовій частинах ряду порівняно з класичною віконною SIR-моделлю, а також формує гладкі та інтерпретовані траєкторії ефективних коефіцієнтів передачі та вилучення. Модель FSIR-PINN досягає порівнянної точності щодо динаміки захворюваності та додатково забезпечує узгоджені з моделлю оцінки траєкторій S(t), I(t), R(t). Водночас глобальна FSIR-PINN за наявності лише одного спостережуваного ряду захворюваності не здатна стабільно відтворити форму хвилі, що свідчить про суттєві обмеження ідентифікації подібних глобальних моделей на шумних реальних даних. Отримані результати підтверджують доцільність використання дробових SIR-моделей зі змінними у часі параметрами та локальних архітектур PINN як практичного компромісу між інтерпретованістю та гнучкістю при ретроспективному аналізі епідемічних хвиль.